Menyelesaikan Persamaan Aljabar Simultan

Menyelesaikan persamaan aljabar simultan merupakan suatu proses dalam menyelesaiakan persamaan aljabar dengan metode-meode yang telah ada. Persamaan aljabar simultan sendiri adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

Dimana :

a i j untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i
untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Persamaan linier simultan diatas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu:

Matrik A = Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian
Vektor x = Vektor variabel
Vektor B = Vektor konstanta

Persamaan aljabar simultan adalah persamaan aljabar yang mempunyai lebih dari satu persamaan dan diselesaikan secara simultan. Pada umumnya, jenis persamaan aljabar simultan dapat diselesaikan dengan metode grafik, metode subtitusi, metode eliminasi gauss, dan metode cramer.

Nah, penjelasannya sebagai berikut:

1. Metode Grafik
Metode grafik adalah metode penyelesaian persamaan non linier (transendental) yang paling sederhana dan paling mudah, dengan cara membuat dua buah grafik dari persamaan tersebut.
Persamaan dari fungsi f(x) = 0 dipecah menjadi dua bagian (dua persamaan), kemudian diplot / digambarkan untuk dicari titik potongnya. Titik potong tersebut merupakan akar persamaannya.
 
Metode grafik ini memiliki beberapa kelebihan, yaitu:

• Metode yang lebih mudah untuk digunakan dan dimengerti
• Lebih sederhana

 Metode ini memiliki kekurangan, yaitu:

• Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tidak bisa dicari secara bersamaan.
• Penyelesaian (titik potong yang dihasilkan) sangat tergantung dari hasil penggambaran grafik tersebut (dipengaruhi oleh penyekalaan bidang koordinat)
• Error penyelesaiannya masih relatif besar. Untuk mengurangi error yang besar dapat dikurangi dengan cara membuat banyak titik koordinat dalam membuat grafiknya. dimana semakin sedikt data titik koordinatnya maka semakin kasar hasil akar persamaan yang diperoleh artinya error nya semakin besar sedangkan jika data titik koordinatnya semakin banyak maka akar persamaan yang dihasilkan semakin halus artinya error nya semakin kecil (jika dibandingkan dengan data titik koordinat sedikit).

2. Metode Substitusi

Metode Substitusi adalah suatu metode penyelesaian persamaan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x+3y=21 dan
x+4y=23 !
Jawab:
Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = … atau x = …. Misal persamaan x+4y=23 dirubah menjadi x=23-4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.
x = 23-4y ---> 2x + 3y = 21
2(23-4y) + 3y = 21
46 – 8y + 3y = 21
46 – 5y = 21
25 = 5y
y = 5

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan.
y = 5 --> 2x + 3y = 21
2x + 3(5) = 21
2x + 15 = 21
2x = 21 – 15
x = 6/2
x = 3

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)

Kelebihan metode ini:

• mampu untuk menyelesaikan persoalan sebuah persamaan yang memiliki 2 variabel. 

Kekurangan metode ini:

• membutuhkan waktu yang lama dan proses yang panjang untuk menyelesaikan persamaan dengan 3 variabel atau lebih.

3. Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss adalah metode digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier. Metode ini merupakan pengembangan dari metode eliminasi dengan mengurangi atau menghilangkan jumlah variabel dengan tujuan untuk mendapatkan nilai dari variabel bebas. 

Eliminasi Gauss mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Kelebihan dari metode ini:

• dapat melakukan pencarian nilai variabel bebas dengan jumlah yang sangat banyak;
• Menggunakan matriks sehingga lebih mudah dalam perhitungan sederhana.

Kekurangan metode ini:

• Lebih sulit jika digunakan dengan variabel yang sangat banyak;
• Lebih sulit untuk dibuat programnya;
• Tingkat keakuratan masih bisa dikatakan rendah.

4. Metode Cramer (Meode Determinan)
Metode Cramer merupakan suatu metode yang didasarkan pada perhitungan determinan matriks.
Lebih jelasnya sebagai berikut:

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan diselesaikan dengan cara determinan:

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)

Kelebihan metode ini:

• Lebih mudah untuk mengejakan persamaan dengan metode ini karena hanya tinggal memasukkan persamaan sesuai rumus yang ada.
• Cocok untuk persamaan dengan lebar matriks 3x3.

Kekurangan metode ini:

• Hanya bisa digunakan untuk matriks selain 3x3