Sabtu, 24 Maret 2012

Metode Iterative

Hallo sahabat blogger semua..
kali ini penulis sedang mencoba menulis sedikit pengetahuan yang penulis dapat dari bangku kuliah, yaitu tentang metode iterative.

Sahabat blogger tau gak apa itu metode iterative??
Kalau belum tau, simak kelanjutan dari tulisan ini, kalau udah tau, kita sharing aja ya.. 
CMIIW (Correct Me If I'm Wrong)..

Metode Iterative merupakan salah satu metode dalam penyelesaian suatu persamaan matematika yang menghasilkan urutan atau rentetan solusi untuk tiap permasalahan, dimana metode ini juga
menggunakan iterasi. Metode ini kebanyakan digunakan untuk memecahkan persamaan non-linier, walaupun tidak menutu kemungkinan digunakan untuk persamaan yang linier.


Cuma segini doang penjelasannya??
Eitts, jangan senang dulu, masih ada lagi.. hehe...

Metode iterative dikelompokkan dalam beberapa metode lagi, diantaranya:
  1. Metode Regula - Falsi (False Position)
  2. Metode Newton - Raphson
  3. Metode Secant
  4. Metode Jacobi
  5. Metode Bisection
Nah, kalau udah kaya gini, tinggal dijabarin deyh pengetian dari masing-masing metode..

1. Metode Regula - Falsi  (False Position)
Metode  Regula Falsi atau yang biasa di sebut dengan False Position adalah istilah yang digunakan untuk metode pemecahan masalah dalam aljabar dan kalkulus. Pada dasarnya, menurut penulis, metode ini mirip dengan metode trial and error yang sering penulis gunakan, karena metode ini dimulai dengan mencoba mengevaluasi masalah dengan ujia nilai untuk variabel dan mengatur nilai yang sesuai.

Prinsip: Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi.


Kelebihan metode ini : konvergen terjamin
Kekurangan metode ini : juga lambat dalam proses konvergen
 
2. Metode Newton - Raphson 
Metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari sir Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar rill. Metode ini dapat mencapai nilai konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.
 
Diketahui fungsi Æ’(x) dan turunannya Æ’ '(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x0. Perkiraan yang lebih baik x1 adalah
 
 
Contohnya fungsi f didefenisikan x bilangan asli, dan fungsi tersebut derivative f, kita mulai dengan perkiraan awal xo untuk akar dari fungsi f.  fungsi yang cocok untuk perkiraan x1 yang benar adalah
x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \,. 
Secara geometri, (x1, 0) adalah pertemuan dengan sumbu x  garis tangen terhadap f pada (xo, f(xo)).
process diulang seperti berikut :
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \, 
hingga nilai akurat tercapai.
Kelebihan metode ini : Dapat mencapai nilai konvergen dengan cepat, bisa menyelesaikan persamaan yang kompleks. dan paling efisien.
Kekurangan metode ini : Sulit menghitung fungsi derivative, sering melakukan iterasi.

3. Metode Secant
ama seperti metode newton-raphson, metode secant adalah salah satu dari metode numerik untuk mencari solusi persamaan dari sebuah fungsi. Meode secant merupakan algoritma mencari akar yang menggunakan rangkaian akar garis secant untuk perkiraan yang benar dar sebuah akar fungsi.


 \beginequation x_n=x_{n-1}-f(x_{n-1})\dfrac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})} \endequation
 
Kelebihan metode ini : fungsinya kontinyu
Kekurangan metode ini : perlu menganalisis turunan.

4. Metode Jacobi
Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu perkiraan penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki perkiraan dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut
 A x = b.\,
Kemudian, diketahui bahwa  A = D+\left({L + U} \right), di mana D merupakan matriks diagonal, L merupakan matriks segitiga bawah, dan U merupakan matriks segitiga atas.
Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :
 D x+\left({L + U} \right)x = b.
Kemudian,
 x = D^{ - 1} \left[b -\left({L + U} \right)x \right],
Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai :
 
x^{(k+1)}  = D^{ - 1} \left[b-\left({L + U} \right)x^{(k)}\right],
di mana k merupakan banyaknya iterasi. Jika x^{(k)} menyatakan hampiran ke- k penyelesaian SPL, maka x^{(0)} adalah hampiran awal.

  
x^{(k)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
 
Kelebihan metode ini : dapat menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar
Kekurangan metode ini : perlu menganalisis turunan.
 
5. Metode Bisection
Metode bisection atau metode bagi dua membagi interval ( antara x1 dan x2  pada suatu fungsi f(x) )) dimana diperkirakan terdapat sebuah akar, menjadi 2 subinterval yang sama besar. Akar tersebut dicari dalam salah satu subinterval dan interval tidak boleh terlalu lebar.

Metode ini diaplikasikan saat kita ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 untuk x bilangan asli, yang mana f adalah fungsi continue yang  mendefenisikan pada interval (a,b) dan f(b) harus berlawanan tanda. Pada setiap langkah, metode membagi interval menjadi 2 perhitungan titik tengah c = (a+b)/2 pada interval dan nilai fungsi f(c) pada titik tsbut.
Secara rinci, jika P = (a+b)/2 adalah titik tengah pada interval awal, dan Pn adalah titik tengah pada interval n, kemudian selisih antara Pn dan solusi P dibatasi oleh :
|p_n-p|\le\frac{|b-a|}{2^n}. 
Kelebihan metode ini : Sangat Simple, konvergen terjamin
Kekurangan metode ini : proses converge lamban.

Nah, sahabat blogger.. itu semua penjelasan yang dapat penulis berikan,, hehe,,, cmiiw..
Klo ada yang mau nambahin,tinggal bilang aja kok,,
Mau kritik??? Boleh aja, asal yang bersifa membangun ya.. Untuk kepentingan bersama..

9 komentar:

  1. Penjelasannya jelas bung, bisa dijelaskan kah kapan saja kita memakai metode iterasi tersebut?

    Daniel (mhs.blog.ui.ac.id)

    BalasHapus
  2. sangat jelas.. tapi rumusnya ada yang gak jelas tuh bung enggar..

    BalasHapus
  3. Penjelasan yang detail Mas Enggar..lanjutkan

    BalasHapus
  4. mas enggar penjelasanya bagus nie, cuman gambarnya kok kabur ya

    BalasHapus
    Balasan
    1. Wah, iya ya..
      saya juga baru sadar..
      kenapa ya bisa kabur kaya gitu??
      ada satpol pp kali ya.. hehe..

      Thanks mas Hasnan untuk komennya..
      nanti saya perbaiki..

      Hapus
    2. haha bisa aj bung enggar.. saran nih bung.. backgroundnya cb di ganti biar enak dibaca, ini agak saru gmn gtu,hee.
      thq .. keep posting bro!

      Hapus
  5. menarik bung,sangat iterativ,kapan kita bisa bilang kalo data sudah konvergen dan kapan kita bisa tau kalau hasil akurat?

    BalasHapus
  6. kok persamaannya kurang jelas ya, agak kabur maksudnya nggar

    BalasHapus
  7. Blognya bagus, tulisannya juga bagus.

    BalasHapus